Introducción
Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). Estas medidas aplicadas a las características de las unidades de una muestra se les denomina estimadores o estadígrafos; mientras que aplicadas a poblaciones se les denomina parámetros o valores estadísticos de la población. Los principales métodos utilizados para ubicar el punto central son la media, la mediana y la moda.
1. MEDIA
Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.
Cuando los valores representan una población la ecuación se define como:
Ecuación 5- 2
aplicable si los datos se encuentran desa (22, 33, 35, 3o contrario debemos calcr su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1].
Ecuación 5-3
Donde (X) representa la Media para la muestra, (n) el tamaño de la muestra y (Xi) representa cada uno de los valores observados. Esta fórmula únicamente es aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso contrario debemos calcular la media mediante la multiplicación de los diferentes valores por la frecuencia con que se encuentren dentro de la información; es decir,
Ecuación 5-4
Donde (Yi) representa el punto medio de cada observación, (ni) es la frecuencia o número de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de la muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada clase.
Para entender mejor este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33, 35, 38 y 41). Para facilitar su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1].
Figura 5-1
Si aplicamos la fórmula para valores agrupados obtendríamos que la media es igual a
Es importante resaltar que existe una gran variedad de medias como la Media geométrica, la Media ponderada, la Media cuadrática, etc. Por el momento sólo hacemos énfasis en la media aritmética ya que es la más utilizada, aunque se recomienda a los lectores profundizar en estos temas.
Lo que nos indicaría que el promedio de edad para los datos desagrupados es de 34 años aproximadamente. Esta diferencia se debe a que al agrupar los datos se pierde parcialmente la exactitud de los cálculos, principalmente al aumentar el número de datos. Para evitar estos inconvenientes, SPSS nos permite fórmula
2. MEDIANA
Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula
Ecuación 5-5
Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería:
Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería,
Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el caso corresponden a (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor.
En conclusión la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta porciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales.
3. MODA
La medida modal nos indica el valor que m;">
concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Medianapor el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por último la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.
Indicadores de desempeño:
- Identifica el significado de las diferentes medidas de tendencia central (media, mediana y moda) en casos prácticos.
- Obtiene las medidas de tendencia central de datos agrupados y no agrupados dentro y fuera de situaciones contextualizadas.
- Utiliza las medidas de tendencia central para analizar, interpretar, describir y comunicar información proveniente de diversas fuentes.
- Interpreta gráficas, tablas y diagramas mediante los elementos de la estadística elemental.
Situación didáctica 1:
Fermín es un estudiante de preparatoria que hace su servicio social en un pequeño hospital de su comunidad. El médico a cargo, le dice que a partir del registro de todos los pacientes que fueron atendidos el mes pasado, elabore un reporte donde se observe gráficamente cuáles fueron las edades de las personas que acudieron al hospital, y cuál fue la edad promedio.
Datos.
6, 14, 13, 13, 50, 45, 20, 22, 4, 7, 4, 11, 16, 22, 30, 78, 69, 68, 50, 33, 24, 66, 40, 23, 12, 65, 52, 58
¿Cómo quedaría la gráfica que le pidió el médico a Fermín?
Secuencia didáctica:
Actividades:
Resuelve los siguientes problemas
1. Los siguientes datos representan el tiempo en que fueron llenadas las cajas de sodas. Calcular el promedio de las cajas en minutos.
7,9,8,9,10,9.8,7
2. Obtengan la media aritmética de los siguientes datos no agrupados.
128,132,136,136,139,143,147.
1. La siguiente gráfica corresponde al consumo en kilowatts/hora en los siete primeros meses del año.
Analiza la gráfica y responde las siguientes preguntas.
2.
a) En qué mes se consumió más kilowatts______________________
b) En qué mes se consumieron 400 kilowatts _____________
c) Que sucedió en el mes de julio______________________
5.- En los siguientes enunciados escribe el tipo de variable (discreta o continua) según sea el caso.
a).- El número de alumnos que tienen sangre tipo A+ en el grupo 231.____________________
b).- El número de exámenes de regularización que han presentado los alumnos de Matemáticas II.____________________
c).- La altura de los árboles de la calle Reforma.______________
d).- La temperatura registrada durante el año en Mexicali.___________
e).- La hemoglobina medida a los enfermos internados en un hospital.____________
6.- En un grupo de 40 alumnos del plantel, se preguntó el número de integrantes de cada familia obteniéndose los siguientes datos.
4,5,6,3,4,5,6,3,8,6
5,4,3,3,6,8,7,3,4,5
3,3,6,6,4,5,8,6,5,6
8,7,6,5,4,3,4,3,3,6
Debido a la cantidad de datos es recomendable agruparlos. A partir de los datos anteriores completa la siguiente tabla de frecuencias.
Número de integrantes
|
Frecuencia
| ||
3
|
10
| ||
Realice un Histograma, Polígono de frecuencias y una Gráfica Circular con los datos anteriores.
Material a utilizar: colores, hojas cuadriculadas, calculadora, reglas.
Mecanismos para evaluar:
- Ejercicios
- Problemario
Situación didáctica 2:
¿Quiénes son más altos?
El equipo de Basquetbol representativo de Zona Valle se enfrentará al de Zona Costa. Siempre se ha corrido el rumor que el equipo de Zona Costa tiene jugadores de mayor estatura, por lo que tienen más ventaja.
La Dirección General del Cobach tiene el registro de estatura de los jugadores que participarán en este encuentro deportivo y los publica para ambos equipos.
Equipo Zona Costa: 1.73, 1.75, 1.83, 1.75, 1.89, 1.95, 1.85, 1.76, 1.75, 1.82, 1.90 en metros.
Equipo Zona Valle: 1.85, 1.69, 1.92, 1.89, 1.78, 1.78, 1.89, 1.88, 1.69, 1.95, 1.89 en metros.
Con base en esta información, determine, ¿qué equipo tiene los jugadores más altos?
¿Cómo puedes comparar las estaturas de ambos equipos para que nos ayude a saber quién tiene mayor ventaja por su estatura?
Actividad 1. Reúnase con su equipo, analicen la información y resuelvan lo siguiente:
1. Para cada equipo, realiza la suma de todos los datos y divídelo entre el total de ellos. Al resultado obtenido se le llamará media aritmética.
¿Cuál es la diferencia entre la media de cada equipo?
¿Cuál de los equipos se puede decir que supera al otro en la estatura de sus jugadores?
¿Conoces alguna otra manera de resumir los datos a fin de comparar estos dos conjuntos?
1.
1. 2. Ordena de menor a mayor cada una de las estaturas, para cada equipo. ¿Qué estatura es la que se encuentra a la mitad de la lista? Al valor así obtenido se le llama mediana.
¿Es la mediana muy diferente a la media aritmética?
¿Consideras que ambas pueden ayudarte a realizar la comparación de ambos equipos?
¿Cuál prefieres?
3. De cada lista de jugadores, ¿cuál estatura es la que más se repite?
¿Encuentras alguna similitud de este valor con la media y la mediana? Al valor que tiene más frecuencia o se repite más se le llamará moda.
¿En qué situaciones que conozcas puedes utilizar el concepto de moda? Escribe tres ejemplos.
_____________________________________________________
_____________________________________________________
4. Un día antes del encuentro, decidió el comité deportivo aumentar a la lista de jugadores tres personas más por equipo. Zona Costa llevará a José, Arturo y Pedro, de 1.75, 1.84 y 1.68 m de estatura, respectivamente. Mientras que Zona Valle llevará a Luis, Jorge y Santiago de 1.78, 1.69 y 1.78 m.
Determinen para cada equipo la media aritmética, la mediana y la moda con estos nuevos datos.
¿Qué equipo tiene más ventaja por su estatura?
5. Una vez terminada la actividad entrégala a tu profesor para su revisión.
Material a utilizar:
Hojas impresas de esta actividad, colores, hojas cuadriculadas, calculadora, reglas.
Mecanismos para evaluar:
- Ejercicios
- Problemario
Situación didáctica 3:
¿Quién ganará la excelencia académica?
En el concurso de ciencias convocado por la Universidad Tecnológica de Tijuana, se entregará un premio a la excelencia académica a la institución que tenga el mayor promedio de calificación de sus alumnos participantes en el concurso.
Participaron varios planteles del Colegio de Bachilleres, pero uno de ellos obtuvo las siguientes calificaciones en sus alumnos:
Matemáticas: 7.3, 9.7, 9.2, 8.9, 9.3
Física: 5.8, 9.5, 9.2, 8.8, 8.5
Biología: 9.1, 9.5, 7.2, 9.3, 8.9
Química: los resultados están aún pendientes
Uno de los equipos más fuertes a vencer es CETYS Tijuana, el cual obtuvo los siguientes resultados:
Matemáticas: 9.2, 8.7, 9.0, 6.6, 8.1
Física: 9.1, 7.5, 8.2, 9.3, 8.3,
Biología: 8.5, 9.2, 8.0, 9.3, 6.2
Química: aún pendientes
1. Calcula las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) para ambas escuelas, de los 15 datos hasta ahora obtenidos.
¿Cuál escuela va ganando?
|
2. Realiza una gráfica (histograma) que muestre el promedio individual de cada asignatura, para cada una de las dos escuelas.
¿Puedes observar cuál de las dos escuelas domina más las Matemáticas, o la Física?
|
3. Calcula el rango de las calificaciones de ambas escuelas. ¿Será suficiente este dato para determinar la variabilidad de las calificaciones?
|
4. De las calificaciones de ambos planteles determina la varianza y la desviación típica.
¿Cuál de los dos planteles presenta mayor variabilidad con relación a la medida central?
¿En cuál de las dos escuelas la preparación de sus alumnos es más homogénea?, explica tu respuesta.
|
5. Finalmente se dan las calificaciones de Química que estaban pendientes. Plantel Cobach obtuvo promedio por los 5 alumnos la calificación de 8.6 y CETYS Tijuana 8.7
¿Qué escuela lleva la ventaja para el premio?
|
6. En la ceremonia de premiación la escuela que obtuvo el tercer lugar tuvo como promedio de calificación en todas sus asignaturas 8.39
¿Qué escuela obtuvo el premio de excelencia
|
Tendrás la gráfica del tema Aplicas la estadística elemental porque ya no aparece
ResponderEliminary que buena pagina muy chingona me esta sirviendo mucho